Exercice 1

Décrire les axiomes qui permettent à un ensemble E muni de deux lois : l’une interne notée ⊕ et l’autre externe par rapport à R notée ⊗ soit un espace vectoriel sur R

Quelques liens : http://fr.wikiversity.org/wiki/Espace_vectoriel/D%C3%A9finitions
http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel
http://homeomath.imingo.net/ev.htm

Eléments de correction :

Définition d'espace vectoriel sur R

un ensemble E muni de deux opérations et noté (E, ⊕ , ⊗ )est un espace vectoriel sur R ( R étant muni des opérations habituelles + et x ) ( R ;+ ; x ) :

lorsque E est muni d'une loi de composition interne (notée ici ⊕ ), appelée addition vectorielle, telle que (E, ⊕ ) est un groupe commutatif , les éléments de E sont plus communément appelé vecteurs .

l'ensemble E est muni d'une loi de composition externe, noté par ⊗ tel que :

(1) Pour tout élément u de E on a : 1 ⊗ u. = u (élément neutre de  )

(2) Pour tout élément u de E et pour tous réels a et b : (a + b) ⊗ u = a ⊗ u ⊕ b ⊗ u (distributivité de ⊗ / +)

(3) Pour tous u et v appartenant à E et pour tout réel a : a ⊗ (u ⊕ v )= a⊗ u ⊕ a⊗ v (distributivité de ⊗ / ⊕ )

(4) Pour tout élément u de E et pour tous réels a et b : (a x b) ⊗ u = a ⊗ ( b ⊗ u )(pseudo associativité de ⊗ )

(E, ⊕ ) est un groupe commutatif , signifie :

a/ ⊕ est une opération interne à E (loi interne de E)

b/ (E, ⊕ ) est commutatif :
Pour tous u et v appartenant à E : (u ⊕ v )= (v ⊕ u )

c/ (E, ⊕ ) est un groupe :
1/ (E, ⊕ ) possède un élément neutre noté 0 tel pour tout élément u de E u ⊕ 0 = u
2/ tout élément u de E possède un symétrique u' tel u ⊕ u' = 0
3/ (E, ⊕ ) est associatif : pour tous u et v et w appartenant à E : w ⊕ (u ⊕ v )= (w ⊕ u ) ⊕ v