Exercice 3

On se place dans l'espace vectoriel R2. On notera x = (xl, x2) les éléments de R2 ..

1./Enoncez ce qu’il faut démontrer pour que D = {x ∈ R2.; xl + x2 = O} et K = { x ∈ R2.; xl - x2 = O } soient des sous-espace vectoriels de R2 et indiquez à quel ensemble appartient le O écrite dans xl + x2 = O dans l’expression de D.

2/ en donner une représentation graphique de D et K

3/ Donnez une variété affine A de direction D

4/ en donner une représentation graphique de A

5/ Dessinez dans le graphique deux éléments de A

6/ Enoncez ce qu’il faut démontrer pour que D et K soient deux sous espaces supplémentaires

7/ Démontrez que D ∩ K = {OR2}



Quelques liens : http://fr.wikiversity.org/wiki/Espace_vectoriel/D%C3%A9finitions
http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel
http://homeomath.imingo.net/ev.htm



 

Eléments de correction :



1a./Ce qu’il faut démontrer pour que D = {x ∈ R2.; xl + x2 = O} et K = { x ∈ R2.; xl - x2 = O } soient des sous-espace vectoriels de R2 sont les propriétés suivantes : (Ce que l'on fait avec D, on le refera aussi avec K)
i/ .D est une partie de R2
ii/ D n'est pas vide (il suffit d'exhiber un élément )
iii/ D est stable pour les combinaisons linéaires ( c'est à dire d'une part quelque soit u et v deux éléments de D, alors u + v est encore élément de D et aussi d'autre part quelque soit u élément de D et quelque soit a élément de R alors au est encore un élément de D)

1b/ L'ensemble auquel appartient le O écrite dans xl + x2 = O dans l’expression de D est l'ensemble R car x étant un élément de R2 alors x= (xl, x2) où xl,et x2 sont deux éléments de R donc leur addition xl,+ x2 est encore un élément de R
d'où si xl + x2 = O alors le O est un élément de R.

2/ une représentation graphique de D et K.




3/ Une variété affine A de direction D ce sera par exemple A = {x ∈ R2.; xl + x2 = 1}. Il suffit de vérifier que A n'est pas vide (x=(1,0) est un élément de A) et que si v et w deux éléments quelconques de A alors v-w est un élément D.
En effet si v=(vl, v2) et si w=(wl, w2) alors v-w =(vl, v2) - (wl, w2) = (vl, - wl, v2 – w2) et calculons (vl, - wl,)+( v2 – w2) :
(vl, - wl,)+( v2 – w2) = (vl, + v2 )- (wl,+w2) = 1 – 1 = O car v est élément de A et w est aussi élément de A

4/ une représentation graphique de A : voir graphique

5/ Dessin dans le graphique de deux éléments de A : voir v et w : v = (3 ; -2) et w=(-1 ; 2)



6/ Ce qu’il faut démontrer pour que D et K soient deux sous espaces supplémentaires sont les propriétés suivantes :
i/ D et K ne sont pas vide;
ii/ D et K sont deux sous espaces vectoriels de R2
iii/ D ∩ K = {OR2}
iv/ Pour tout élément x de R2 on peut trouver un élément u de D et un élément v de K tel que x = u+v (on écrit R2 = D + K)
v/ Notation : si D et K sont deux sous espaces supplémentaires de R2 on écrit R2 = D ⊕ K

7/ Démonstration de D ∩ K = {OR2}

soit x élément de l'intersection D ∩ K , x= (xl, x2) alors d'une part x est un élément de D et d'autre part x est aussi un élément de K, ainsi xl + x2 = O et xl - x2 = O , et nous obtenons un système de 2 équations à deux inconnues xl et x2

La résolution de ce système d'équations (il suffit de résoudre par combinaison linéaire ou par substitution) nous donne comme solution xl = O et x2 = O ainsi il n'y a que OR2 comme élément de l'intersection D ∩ K
par conséquent D ∩ K = {OR2}