Exercice 5b

Soit u₁ =(1,1,1) ; u₂=(1,1,-1) ; u₃=(1,-1,1), u₄=(2,2,-2) ; u₅=(3,1,-1) et E le sous-espace vectoriel de R³ engendré par la famille U={ u₁ , u₂ ,u₃, u₄, u₅ }

1/ Extraire de la famille U une base B de E. En déduire que E=R³

Quelques liens : http://fr.wikiversity.org/wiki/Espace_vectoriel/D%C3%A9finitions
http://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_vectoriel
http://homeomath.imingo.net/ev.htm

Eléments de correction :

Disposons la famille U={ u₁ , u₂ ,u₃, u₄, u₅ } en colonne pour mieux voir les combinaisons entre les 5 vecteurs, en effet si la famille U engendre E et si éventuellement certains éléments de U sont déjà combinaison linéaire d'autres élément de U, nous n'aurions pas besoin de les retenir dans la famille génératrice de E

En observant bien les composantes des 5 vecteurs nous remarquons que u₅ = u₄, + u₃,
ainsi la nouvelle famille { u₁ , u₂ ,u₃, u₄ } reste génératrice de E
Nous remarquons aussi que u₄ = 2 u₂,
ainsi la nouvelle famille { u₁ , u₂ ,u₃, } reste génératrice de E
Entre les éléments de la famille { u₁ , u₂ ,u₃, }, les combinaisons linéaires ne sont pas visiblement évidentes, on va essayer de démontrer que cette famille est libre , si elle ne l'est pas , nous obtiendrions la combinaison linéaire non évidente.

Pour démontrer que la famille { u₁ , u₂ ,u₃, } est libre il faut que nous ayons à établir que l'égalité au₁ + bu₂ + cu₃, = 0 (0 étant ici l'élément neutre de R³ et que a, b et c sont 3 nombres réels quelconques) entraîne nécessairement que a=0, b=0, c=0

au₁ + bu₂ + cu₃, = 0 est equivalent à

Nous avons un système de 3 équations avec 3 inconnues : a, b et c, après résolution (avec méthode de pivot par exemple )

Et nous obtenons nécessairement b=0 ; c=0 et puis a=0

d'où la famille { u₁ , u₂ ,u₃, } est bien libre.

La famille { u₁ , u₂ ,u₃, } étant libre et génératrice de E , c'est une base de E.
La base B de E.sera la famille { u₁ , u₂ ,u₃, }.

Cette base { u₁ , u₂ ,u₃, }.de E a 3 éléments, elle est libre , elle est encore libre dans R³ or R³ est de dimension 3,
donc { u₁ , u₂ ,u₃, }.est une famille ( à 3 éléments) libre maximale de R³ , { u₁ , u₂ ,u₃, }.est aussi alors une base de R³ (cf cours) ainsi R³ et E ont même base par conséquent E=R³