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Exercice 1 On suppose que chaque naissance donne avec équiprobabilité une fille ou un garçon. Quelle est la probabilité qu'une famille de 4 enfants ait autant de filles que de garçons?
Eléments de correction : Les données, les hypothèses et les notations sont : W l’univers G = « un garçon est né » F = « une fille est née » Prob (G) = Prob (F) (Equiprobabilité des naissances Fille ou Garçon) A = événement « autant de Filles que de Garçons »
Prob(A)= Card(A)/Card(W) par définition.
Dénombrement de W : Une famille de 4 enfants peut avoir une composition telle que GGGF par exemple ou GFFF ou FFGG et ainsi de suite, ainsi on peut modéliser la situation de la manière suivante : il y a 4 places dans lesquelles pour chaque place on peut placer soit une F soit un G, par conséquent en tout il y a 2 x 2 x 2 x 2 possibilités de placer G ou F soit 24 possibilités, d’où Card(W ) =24 = 16 W = { GGGG, GGGF, GGFF, GFFF, FFFF, FFGG, …., }
Dénombrement de A : Notation : Cnp, le nombre de combinaisons qui permettent de choisr p objets parmi n D’autre part, Card(A) = C42,
en effet parmi les 4 places nous en prenons 2 pour mettre les 2
F, et le nombre de possibilités de choisir ces 2 places
parmi 4 est le nombre de combinaisons C42,
avec A = { GGFF, GFGF, FGFG, …., }
Conclusion : Ainsi Prob(A)= C42/24 soit 6/16 ou 3/8 ou 0,375 soit il y a 37,5% de chance pour qu'une famille de 4 enfants ait autant de filles que de garçons.
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