Soit W un univers et ces deux événements A et B tel que AÈ B = W, Prob(A)= 0,5 et Prob(B) = 0,7. Ces valeurs numériques sont elles possibles ? Si oui quelle en est la conséquence ?, si non dites pourquoi. ?

Eléments de correction :

Les données, les hypothèses et les notations sont :

W un univers

Prob(W) =1

deux événements A et B

AÈ B = Réunion des deux événements A , B

AÇB = Intersection des deux événements A , B

AÈ B = W,

Prob(A)= 0,5

Prob(B) = 0,7

D’une manière générale, nous savons que si T et P sont deux événements et si T=P alors Prob(T)=Prob(P)  et en particulier si  AÈ B = W alors: Prob(AÈ B)=Prob(W) ; Or, d’une part Prob(W) =1  et d’autre part  Prob(AÈ B)=Prob(A)+Prob(B)-Prob(AÇB). Tout ceci entraine que 1 = 0,5 + 0,7 - Prob(AÇB)   soit Prob(AÇB)= 0,2.

En conclusion : ces valeurs numériques sont possibles et impliquent que nécessairement l’intersection AÇB  n’est pas vide et que sa probabilité vaut 0,2.