Exercice Jeu de cartes

Exercice

Considérons l'univers  Ω où Ω = {Aco, Api, Atr, Aca, Rco, Rca, Rpi, Dco, Dpi, Vpi}
où Vpi signifie Valet de Pique, Atr : As de Trèfle, Dco : Dame de Coeur, et Rca : Roi de Carreau, etc ...Evidemment on va utiliser ce jeu de cartes restreint à ces cartes décrites dans  Ω.

On tire une carte (on fait l'hypothèse de l'équiprobabilité)., si c'est un coeur  on perd 10 euros,  si c'est un pique on gagne 20 euros, si c'est un carreau on perd 30 euros et si c'est un trèfle on gagne  40 euros., Proposez la variable aléatoire réelle correspondante à cette expérience probabiliste. Donnez sa fonction de répartition puis la courbe représentative correspondant. Qu'est ce qu'on espère comme gain ?



Elements de correction



Afin de mieux dénombrer les différentes cartes présentes dans le jeu représentons les données sous la forme suivante :

Co

Ca

Pi

Tr

Total

As

x

x

x

x


Ro

x

x

x



Da

x


x



Va



x



Effectifs

3

2

4

1

10

Probabilité pi

'3/10'

'2/10'

'4/10'

'1/10'

1

Les valeurs xi de la variable aléatoire X =Gain si on tire la couleur

-10

-30

20

40


pi xi

-3

-6

8

4

Espérance
= E(X)
3


On tire une carte parmi les 10 :

Notons Co l’événement « tirer un Coeur »

Notons Ca l’événement « tirer un Carreau »

Notons Pi l’événement « tirer un Pique »

Notons Tr l’événement « tirer un Trèfle »


Ω l'univers,
Prob(Ω) =1


Détermination de la variable aléatoire X :
X(Ω) = { -30 , -10 , 20, 40 }

L'événement {X=-30} = l'événement {Aca, Rca}

L'événement {X=-10} = l'événement {Aco, Rco, Dco}

L'événement {X= 20} = l'événement {Api, Rpi, Dpi, Vpi}

L'événement {X= 40} = l'événement {Atr}


Ainsi :


Prob({X= -30}) = Prob({Aca, Rca})

Prob({X=-10) = Prob({Aco, Rco, Dco})

Prob({X= 20}) = Prob({Api, Rpi, Dpi, Vpi})

Prob({X= 40}) = Prob({Atr})

Or

Prob({Aca, Rca}) = 2/10

Prob({Aco, Rco, Dco}) = 3/10

Prob({Api, Rpi, Dpi, Vpi}) = 4/10

Prob({Atr}) = 1/10


Par conséquent :

Prob({X= -30}) = 2/10

Prob({X=-10}) = 3/10

Prob({X= 20}) = 4/10

Prob({X= 40}) = 1/10



Fonction de répartition de X : F(x),
Par définition, F(x) = Prob(X<= x),

La fonction de répartition F est définie sur l'"intervalle ]-∞ ; +∞ [ et prend ses valeurs sur l'intervalle [ 0 ; 1 ], c'est une fonction croissante, continue à droite.



si x < -30

F(x) =0

si -30<= x <-10

F(x) =2/10

si -10<= x <20

F(x) =5/10

si 20<= x <40

F(x) =9/10

si 40<= x

F(x) =10/10 = 1


Graphe de la fonction de répartition




Espérance de Gain = Espérance de la variable aléatoire X

i=4


E(X) =

Σ

pi xi


i=1



Ainsi E(X) = 3


Conclusion : dans ce jeu, sur un tirage on espère gagner 3 euros.