Exercice 2

Un univers Ω est tel que Ω = { 1 ; 0 } avec la Probabilité d’avoir « 1 » est 5%

Soit X la variable aléatoire réelle qui peut prendre soit la valeur 1 soit la valeur 0.

a/ Décrire un phénomène qui peut être modélisé par la variable X

b/ On repéte 15 fois l’expérience correspondant à l’événement associé à X, on obtient une variable aléatoire Y telle que
Y= X1+ X2+ X3+ X4+ X5+ X6+ X7+ X8+ X9+ X10+ X11+ X12+ X13+ X14+ X15

Calculer E(Y)

c/ Calculer Prob(Y <= 3)

d/ Calculer Prob(Y = 2)

e/ . Soit l’ expérience qui consiste à observer si un salarié est en retard ou non dans une semaine. On remarque que dans une semaine il est en retard avec un pourcentage de 5%.

On l’observe durant 50 semaines.

i/ Quel est le nombre de semaines éspéré où il sera en retard durant ces 50 semaines.

ii/Quelle est la probabilité qu’il soit en retard au plus 6 semaines.

iii/Quelle est la probabilité pour qu’il soit en retard exactement 6 semaines.

iv/ Quelle est la probabilité pour qu’il soit en retard au moins 6 semaines

 

Eléments de correction :

Les données, les hypothèses et les notations sont :

X est une variable aléatoire réelle qui suit B(0,05)
X suit une loi de Bernouilli de paramètre p=0,05, ainsi l'univers Ω (X) est { 0,1 } ,
et Prob(X=1) = 0,05 et Prob(X=0) = 0,95

a/ Description d'un phénomène qui peut être modélisé par la variable de Bernouilli X.
Considérons le phénomène aléatoire suivant le bus arrive juste au moment où on arrive à l'arrêt ou non. L'expérience consiste à aller prendre le bus. : Il y a 5 chances sur 100 pour que le bus arrive juste au moment où on arrive à l'arrêt ce qui signifie qu'il y a 95 chances sur 100 d'arriver à l'arrêt sans que le bus soit là et d'attendre.
Cette expérience où l'issue n'a que deux états possibles qui correspondent respectivement aux deux événements suivants : d'une part « le bus arrive au moment où on arrive à l'arrêt » et d'autre part « le bus n'arrive pas au moment où on arrive à l'arrêt » , autrement dit nous noterons A l'événement « coïncidence des deux arrivées » et nonA l'événement « pas de coïncidence des deux arrivées ». Ce phénomène aléatoire  peut être modélisé par une variable aléatoire X qui prendrait la valeur 1 si l'événement « coïncidence des deux arrivées » se réalise sinon X prend la valeur 0. Ainsi nous avons les égalités de probabilitésd'événements suivants :
Prob({X=1}) = Prob( « coïncidence des deux arrivées » ) = 0,05
Prob({X=0}) = Prob( « pas de coïncidence des deux arrivées » ) = 0,95;
D'une manière générale l'événement {X=1} correspond à un succès de l'expérience et {X=0}à l'echec.

b/ On répète 15 fois l’expérience correspondant à l’événement associé à X, on obtient une variable aléatoire Y telle que
Y= X1+ X2+ X3+ X4+ X5+ X6+ X7+ X8+ X9+ X10+ X11+ X12+ X13+ X14+ X15

Calcul de E(Y)

Y est la somme de 15 variables aléatoires de Bernouilli (chacune suit la loi de Bernouilli de paramètre 0,05). Nous supposerons qu'elles sont indépendantes entre elles (Cette hypothèse supplémentaire n'est pas explicitée dans l'énoncé). Dans ce cas, selon le cours, Y est une variable aléatoire Binomiale qui suit la loi B(15; 0,05) et Y correspond au nombre de succès obtenus au bout de 15 expériences.
Prob(Y=k) = C15k (0,05)k (0,95)15-k
Selon le cours, l'espérance de Y : E(Y) = np = 15 x 0,05= 0,75

c/ Calcul de Prob(Y <= 3)
Prob(Y <= 3) = Prob(Y=0) + Prob(Y=1) +Prob(Y=2) + Prob(Y=3) =
C150 (0,05)0 (0,95)15 + C151 (0,05)1 (0,95)14 + C152 (0,05)2 (0,95)13
+ C153 (0,05)3 (0,95)12
la lecture de la table de la loi Binomiale nous donne Prob(Y <= 3) = 0,995 soit 99,5%


d/ Calcul de Prob(Y = 2)
Prob(Y = 2) = Prob(Y <= 2) - Prob(Y <= 1) = 0,964 - 0,829 (ces valeurs sont lues sur la table )
Prob(Y = 2) = 0,135 soit 13,5%

e/ . L' expérience consiste à observer si un salarié est en retard ou non dans une semaine. On remarque que dans une semaine il est en retard avec un pourcentage de 5%.

On l’observe durant 50 semaines.

e.i/ Calcul du nombre de semaines espéré où il sera en retard durant ces 50 semaines.

Notons Z la variable aléatoire somme de 50 variables aléatoires indépendantes de Bernouilli , chacune suivant la loi B(0,05). Ainsi Z suit une loi binomiale de paramètre n=50 et p=0,05. : B(50; 0,05)
Le nombre de semaines espéré où il sera en retard durant ces 50 semaines correspond à l'espérance E(Z)=np
ainsi E(Z)=50 x 0,05 = 2,5 semaines


e.ii/La probabilité qu’il soit en retard au plus 6 semaines correspond à Prob(Z<=6)
Prob(Z<=6) = 0,988213552 =98,8% (valeur consultable sur la table.de B(50; 0,05))

e.iii/La probabilité pour qu’il soit en retard exactement 6 semaines correspond à Prob(Z=6).
Prob(Z=6) = Prob(Z<=6) -Prob(Z<=5) = 0,988213552 - 0,962223827 (valeurs consultables sur la table.)
Prob(Z=6) = 0,025989725 = 2,6%

ie.v/ La probabilité pour qu’il soit en retard au moins 6 semaines correspond à Prob(Z>=6)
Prob(Z>=6) = 1 - Prob(Z<6) =1- Prob(Z<=5) = 1- 0,962223827 (valeur consultable sur la table.)
Prob(Z>=6) = 0,037776172 = 3,8%