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Exercice
3
Si X est une
variable aléatoire réelle qui suit B(10 ;
0,8),
a/ Calculer E(X)
b/ Calculer
Prob(X<=6)
c) Calculer Prob(
X<=7)
d) Que conclure de
la comparaison des trois valeurs calculées en a/ , b/ et
c/.
Eléments de correction :
Les données, les hypothèses et les notations
sont :
X est une variable aléatoire réelle qui suit
B(10 ; 0,8)
X suit une loi binomiale de paramètre
n=10 et p=0,8, ainsi l'univers W
(X) est { 0,1,2,3,4,...,8,9,10 } ,
et
Prob(X=k) = C10k
(0,8)k (0,2)10-k
Résolutions
a) selon le cours E(X) = np = 10 x (0,8) = 8
b) Calcul Prob(X<=6)
Comme la table
de la loi binomiale ne contient pas les probabilités
où le paramètre p dépasse 0,5, nous pouvons
utiliser la variable aléatoire Y égale à
n-X.
W (Y)
est { 0,1,2,3,4,...,8,9,10 }
et Y est une variable aléatoire réelle qui suit
B(10 ; 1-0,8) = B(10 ; 0,2)
car {X=k} = {-X=-k} =
{n-X = n-k } = {Y = n-k } entrainant
Prob({X=k}) = Prob({Y =
n-k })
autrement dit Prob({Y=k}) = Prob({X = n-k }) = Cnk
(0,8)n-k
(0,2)k
en
résumé, Y est une variable aléatoire réelle
qui suit B(10 ; 0,2) qui se trouve dans la
table .
Ainsi {X<=6} = {-X>=-6} = {n-X >= n-6 } =
{Y >= n-6 }
par conséquent Prob({X<=6}) =
Prob({Y >= n-6 } )=1-Prob({Y < n-6 } ) avec Y suit B(10 ;
0,2)
en particulier ici dans le cas de l'exo Prob({X<=6})
= Prob({Y >= 10-6 } )=1-Prob({Y < 10-6 } )
= 1-Prob({Y
<4} )=1-Prob({Y <=3} ) et on lit sur la table
de B(10 ; 0,2) que Prob({Y <=3} = 0,87913
entrainant
Prob({X<=6}) = 1- 0,87913 = 0,12087
c) Calcul
Prob(X<=7)
Prob({X<=7}) = Prob({Y >= 10-7}
)=1-Prob({Y < 10-7 } )
= 1-Prob({Y <3} )=1-Prob({Y <=2}
) et on lit sur la table
B(10 ; 0,2) que Prob({Y <=2} = 0,67780
entrainant
Prob({X<=7}) = 1- 67780 = 0,3221
d) Comparaison des
résultats de a/, b/, c/
E(X) = 8
Prob({X<=6}) =
0,12087
Prob({X<=7}) = 0,32210
On remarque bien que
comme l'espérance de X est 8, les valeurs des probabilités
cumulées Prob({X<=6}) et Prob({X<=7}) s'approchent
de plus en plus de 0,5 soit (½) de telle manière
que si on calcule Prob({X<=8}) nous obtenons
Prob({X<=8})=1-Prob({Y <=1} ) = 1-37581 (valeur lue sur la
table)
soit Prob({X<=8})= 0,62419 dépassant même
les 0,5
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